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आंकड़ों में मोड

आंकड़ों में, मोड केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय है, जो किसी डेटा सेट में सबसे बार-बार आने वाले मान का वर्णन करता है। यह डेटा के वितरण को समझने के लिए एक मूल्यवान मीट्रिक है, विशेष रूप से श्रेणीबद्ध डेटा में जहाँ औसत और माध्यिका लागू नहीं हो सकते हैं। मोड को गुणात्मक और मात्रात्मक दोनों प्रकार के डेटा का विश्लेषण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है और यह सेट में सबसे सामान्य मान की पहचान करने में मदद करता है।

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मोड की परिभाषा

किसी डेटा सेट का मोड वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। एक डेटा सेट में:

• कोई मोड नहीं: जब कोई संख्या दोहराती नहीं है।
• एक मोड: इसे एकलमोडल वितरण कहा जाता है।
• दो मोड: इसे द्विमोडल वितरण कहा जाता है।
• दो से अधिक मोड: इसे बहुमोडल वितरण कहा जाता है।

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मोड की विशेषताएँ

1. सरलता: मोड को पहचानना और गणना करना सीधा है, जिससे इसे समझना और संवाद करना आसान हो जाता है।
2. उपयोगिता: इसे नाममात्र, क्रम, अंतराल, और अनुपात डेटा के साथ उपयोग किया जा सकता है, जिससे यह विभिन्न डेटा प्रकारों में बहुपरकारिक हो जाता है।
3. मजबूती: मोड डेटा सेट में चरम मानों (आउटलेयर्स) से प्रभावित नहीं होता, जो इसे झुके हुए वितरण में एक उपयोगी माप बनाता है।
4. कई मोड: डेटा सेट में कई मोड हो सकते हैं, जो आवृत्तियों की अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।
5. कोई अद्वितीय मान नहीं: औसत और माध्यिका के विपरीत, मोड अद्वितीय नहीं हो सकता है। मामलों में जहाँ कई मान समान उच्चतम आवृत्ति के साथ आते हैं, उन सभी मानों को मोड माना जा सकता है।

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मोड की गणना करना

मोड की गणना करने की विधि विश्लेषण किए जाने वाले डेटा के प्रकार के आधार पर भिन्न हो सकती है। यहाँ कुछ सामान्य विधियाँ दी गई हैं:

1. गैर-समूहबद्ध डेटा के लिए

गैर-समूहबद्ध डेटा में मोड खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

• चरण 1: डेटा सेट में मानों की सूची बनाएं।
• चरण 2: प्रत्येक मान की आवृत्ति की गणना करें।
• चरण 3: उच्चतम आवृत्ति वाले मानों की पहचान करें।

उदाहरण:
ध्यान दें कि डेटा सेट: 5, 3, 9, 3, 7, 8, 3, 2, 9।

• आवृत्तियाँ:
• 2: 1 बार
• 3: 3 बार
• 5: 1 बार
• 7: 1 बार
• 8: 1 बार
• 9: 2 बार

मोड 3 है क्योंकि यह सबसे अधिक बार आता है (3 बार)।

2. समूहबद्ध डेटा के लिए

समूहबद्ध डेटा में मोड खोजने के लिए (जो कि श्रेणियों में संगठित होता है), आप निम्नलिखित विधि का उपयोग कर सकते हैं:

• चरण 1: मौलिक वर्ग (जिसमें उच्चतम आवृत्ति है) की पहचान करें।
• चरण 2: मोड की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

सूत्र:
मोड = L + [ (f_m – f_{m-1}) / ((f_m – f_{m-1}) + (f_m – f_{m+1})) ] × h

जहाँ:

• L = मौलिक वर्ग की न्यूनतम सीमा
• f_m = मौलिक वर्ग की आवृत्ति
• f_{m-1} = मौलिक वर्ग से पहले की श्रेणी की आवृत्ति
• f_{m+1} = मौलिक वर्ग के बाद की श्रेणी की आवृत्ति
• h = श्रेणी की चौड़ाई

उदाहरण:
ध्यान दें कि निम्नलिखित आवृत्ति वितरण:

श्रेणी अंतराल	आवृत्ति
1 – 5	2
6 – 10	5
11 – 15	3
16 – 20	4

1. मौलिक वर्ग 6 – 10 है (5 की उच्चतम आवृत्ति)।
2. सूत्र लागू करें:

• L = 6
• f_m = 5
• f_{m-1} = 2 (श्रेणी 1 – 5 की आवृत्ति)
• f_{m+1} = 3 (श्रेणी 11 – 15 की आवृत्ति)
• h = 5 (समान अंतराल मानते हुए)

मोड = 6 + [ (5 – 2) / ((5 – 2) + (5 – 3)) ] × 5

= 6 + [ (3) / ((3) + (2)) ] × 5

= 6 + [ 3 / 5 ] × 5

= 6 + 3 = 9

डेटा सेट का मोड 9 है।

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मोड का उपयोग करने के लाभ

• आसान व्याख्या: मोड डेटा सेट में सबसे सामान्य मान का एक सरल माप प्रदान करता है।
• श्रेणीबद्ध डेटा के लिए उपयोगी: यह श्रेणीबद्ध डेटा का विश्लेषण करने के लिए विशेष रूप से फायदेमंद है जहाँ औसत और माध्यिका लागू नहीं होते।
• लोकप्रियता का संकेत: विपणन और सामाजिक विज्ञान में, मोड समूहों के बीच लोकप्रिय विकल्पों का संकेत दे सकता है।

मोड के उपयोग करने के नुकसान

• हमेशा अद्वितीय नहीं: कुछ डेटा सेट में, कई मोड हो सकते हैं, जो विश्लेषण को जटिल बना सकते हैं।
• अन्य डेटा की अनदेखी: मोड केवल आवृत्ति पर विचार करता है और वास्तविक मानों और उनके वितरण की अनदेखी करता है।
• सीमित उपयोग: यह कुछ डेटा सेट में केंद्रीय प्रवृत्ति का अच्छा प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं कर सकता है, विशेष रूप से निरंतर डेटा वाले।

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निष्कर्ष

मोड आंकड़ों का एक मौलिक सिद्धांत है जो डेटा सेट में सबसे बार-बार आने वाले मान की पहचान करने में मदद करता है। इसकी गणना में आसानी और विभिन्न प्रकार के डेटा में अनुप्रयोग इसे वर्णनात्मक और अनुमानात्मक आंकड़ों दोनों में एक मूल्यवान उपकरण बनाती है। मोड की विशेषताओं और इसकी गणना के तरीकों को समझना डेटा विश्लेषण और व्याख्या कौशल को बढ़ा सकता है।

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संदर्भ

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2. स्पीगेल, एम. आर., और स्टीफेंस, एल. जे. (2018). सांख्यिकी. मैकग्रा-हिल शिक्षा।
3. वॉलीस, डब्ल्यू. ए., और रॉबर्ट्स, आर. सी. (2020). सांख्यिकीय विश्लेषण और डेटा प्रदर्शन. स्प्रिंगर।

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